August 10th, 2017

юзерпик

Для тренировки, к Добору и пр. постингам

или Денатурированные числа

До "яркого цветного мира" (т.е. поиска других квазиматематических областей помимо существующих) еще переть и переть, поэтому приходится пока тренироваться "на лягушках заспиртованных". Есть такая шуточная система счисления - рюмочно-бутылочная: первым членом ее является стопка, далее - рюмка, потом - стакан, далее - поллитра, далее - винная бутылка, затем - штоф, и т.д. Отсюда и мое название, но все-таки стоит более абстрактную арифметику предложить, и с акцентом не на переменную длину разряда, а на отсуствие первого члена ряда (в рюмочно-бутылочной системе он как раз есть).

В общем, по аналогии с арифметическими аксиомами Пеано для натуральных чисел, вот что для "денатурированных"

Вводим ряд из предыдущих, текущих и последующих "чисел" ("a, a, a"), соотношение между которыми задается "вычитанием" текущего из последующего, результатом которого является предыдущее (либо наоборот, "сложением" текущего с предыдущим, чтобы получить последующее).

"Числа" - в кавычках, т.к. они не похожи на числа натурального ряда (можно обозначать как ДЧ, "денатурированные" же, говорю). Однако есть и сходства: наподобие чисел Фибоначчи для обычного натурального ряда, но с той разницей, что нет первого члена. Поэтому свойства чисел Фибоначчи только частично отражают свойства этого ряда и операций с ним, т.к. в них есть начальные члены, а у ДЧ их нет. Так, операция "сложения" и "вычитания" в данной системе носит черты также деления чисел натурального ряда (получения дробных чисел), т.к. нацело можно сложить или вычесть только соседние ДЧ. Кроме того, в отличие от натуральных чисел, с ДЧ можно оперировать уверенно только в ближней окрестности произвольно взятого ДЧ "а", т.к. нет способов идентифицировать любое ДЧ относительно любого, только в своей окрестности. Но разрядная запись при этом возможна очень легко - надо обозначать следующее ДЧ как отдельный разряд в любую сторону от данного. Берем произвольное a, следующее в сторону увеличение запишем как ab, далее abc (которое a+ab), abcd (ab+abc) и т.п., а в другую сторону будем русским алфавитом пользоваться: ба (предыдущее), вба (а-ба), гвба (ба-вба) и т.п. Дробные значения (промежуточные между соседними ДЧ) будем записывать с дробью, которая заменяет разрядную запятую: abcd/а - это ДЧ abcd c прибавлением а в сторону abcde, а abcd\а - ДЧ abcd в вычитанием а в сторону abc. Аналогично и с а\гвба - для мнемоники это гвба с вычитанием в сторону дгвба (но можно записать это и как гвба\a, еще не решил :-))

Иллюстрация через числа Фибоначчи, если а - 89, то ab - 144, abc - 233, abcd - 377, ба - 55, вба - 34, гвба - 21. В отличие от чисел Фибоначчи в ДЧ есть уменьшение ниже 1 натурального ряда, как бы к его 0, с бесконечным приближением без возможности его достичь. Но соответствия полного нет, т.к. в ДЧ нет промежуточных целых чисел, в отличие от указанного примера с числами Фибоначчи: в указанном примере abcd/а в отличие от 466 - нецелое.

Сложность с еще одной аксиомой: надо ли вводить запрет вычитания числа из себя ? Судя по тому, как задан ряд, может и стоит (операций ДЧ с самим собой определением не предложено), но пока что для "богатства хозяйства" не будем. Т.е. при вычитании ДЧчисла а из самого себя, получаем 0, который не локален в ряду, т.к. получаем его при каждом вычитании любого ДЧ-числа из самого себя. Иным способом получить 0 вроде бы в такой системе нельзя, т.к. надо вычесть полную сумму всего ряда до данного числа а.

Вычитание бОльшего ДЧ из меньшего дает отрицательные числа. Но занятная особенность: без 0, т.к. каждое ДЧ лежит в бесконечном ряду, в одну сторону возрастающем, в другую - уменьшающем (как в Алисе в стране чудес у гриба отщипывать :-)). Также в этом случае у крупных чисел отрицательные ложаться дальше в отрицательной области, а у мелких - ближе. ("Крупные" и "мелкие" - это лежащие далеко относительно друг друга две разных области локальных ДЧ вокруг разных А). В указанном примере гвба-вба это как 21-34, а abc-abcd - как 233-377. Но и обычная для натуральных числе ситуация тоже в мире ДЧ есть: при вычитании из одного и того же ДЧ превосходящего его меньшего ДЧ результат ложится ближе в отрицательной области, чем при вычитании превосходящего его большего ДЧ (ну, большие-меньшие они относительно друг друга: гвба-вба как 21-34, гвба-abcd как 21-377). С этими отрицательными ДЧ пока не разобрался - возможно, они не похожи на отрицательные натуральные (т.е. не просто "с другим знаком", а ко всему прочему - особые дроби).

Вот пока не придумал, какие еще операции возможны, как образовать (и если невозможны - как установить ?). Также хорошо бы проверить аксиоматику на непротиворечивость, но это я не умеееею :-). (В принципе, есть учебник математической логики, но это нескоро - только открыл Алгебру Ван-дер-Вардена еще). Вот если такая система была разработана, было бы интересно ознакомиться, но без понятия даже, к какому разделу математики она может принадлежать. Универсальные алгебры ? - но они абстрактней... Хотя в данном случае операции занятные (сложение и вычитание в итоге с некоторыми свойствами деления). Спросить что ли на форуме mathhelp ? (но сразу в разделе Палата №6 придется :-))

Да, с развитым в Доборе и ранее взглядом не сочетается. Здесь пробовал другой заход: не элемент-операция как единый компонент и от него плясать, а без выделенного элемента или первоэлемента ("без единицы"). С сохранением величины или количества - иначе не получается вменяемо ничего рассмотреть (с детства людишки считать привычные...)