Задал вопрос (в блоге ivanov_petrov), а что будет, если добавить в свойства чисел еще какую-нибудь арифметическую операцию ? Получил ответ, что вроде как тоже разрушение арифметики (в терминах "поле", наверно "кольцо", "группа" и т.п. еще тогда). Ну, разговор я не могу поддержать на математическом языке (отшутился, что еще учебник не дочитал, что в общем-то правда - Дорофееву по случаю приобрел, уже упоминал).
Однако, интересен вопрос, какие же изменения будут вести к краху какой-то формальной системы или игры по правилам, а какие нет. Например, если добавить к шашкам возможность ходов по клеткам разного цвета, а съедание производить на поле съедаемой фигуры, а не перепрыгивая через нее, то выйдут шахматы (ну, еще условие обязательное, чтобы именно шахматы - наличие Короля; иначе выйдет просто "нешашки"). Но вот если к шахматам добавить дополнительные фигуры и поля, то они останутся шахматами ("русские шахматы", например - на 100-клеточном поле, с Соколом и еще чем-то). Наоборот тоже кстати: упрощенные шахматы с Королем и только пешками будут шахматами (та же цель - мат, хотя осуществление придется менять скорее всего - стараться провести в ферзи пешки, не давая это делать противнику, и только потом - ферзем давить на мат).
Как кажется, общих признаков нет, и в абстрактном виде такую задачу поставить даже нельзя ? Например, понятие "множество" нельзя будет употреблять, т.к. если даже что-то можно рассмотреть как набор элементов и правил, то возможен вариант с переменным членством или повторами "счета" (или "перебора") одного и того же элемента, либо изменение правил при появлении нового элемента (дамки в шашках тех же).
Но применительно к арифметике вроде можно сделать предсказание (хоть и не строго). Если арифметика строится, исходя из операций с натуральными числами (ну, аналогом - каким-то изначальным рядом, допустим он возникает), то при добавлении дополнительной операции кроме сложения скорее всего не будет развертывания в другие существующие множества чисел, возникающие при наличии одного сложения (также обратной операции и производных), зато возникнут какие-то "парачисла". Конкретные свойства неясны совершенно, т.к. изначально много вариантов как о свойствах элементов, так и о свойствах операций. Например, операция может быть без обратной (то же "съедание" как шашках или шахматах или "побитие карты"). Либо различие может касаться свойств элементов: ко всем аналогам натуральных чисел применима дополнительная операция или к некоторым - только обычные арифметические. В последнем случае, если операция производится без участия парачисел, 2+2 будет 4, а 2ЪF, где Ъ - новая операция, а F - парачисло, будет тоже парачисло, или 2+F - скорее всего тоже (зависит от свойств парачисел). Ну, в случае сохранения обычных чисел множества по результатам операций с парачислами будут дополнять обычные математические, а без - совсем все по-другому...
Да, не могу отказаться от идеи, что для задания математики нужна только единица и сложение. Хотя это неправильно, насколько знаю, и числа считаются независимыми и задаются через "взаимное соответствие" элементов множеств...
