Земной дядюшка Спока signor Batulini (b_graf) wrote,
Земной дядюшка Спока signor Batulini
b_graf

Category:

Для тренировки, к Добору и пр. постингам

или Денатурированные числа

До "яркого цветного мира" (т.е. поиска других квазиматематических областей помимо существующих) еще переть и переть, поэтому приходится пока тренироваться "на лягушках заспиртованных". Есть такая шуточная система счисления - рюмочно-бутылочная: первым членом ее является стопка, далее - рюмка, потом - стакан, далее - поллитра, далее - винная бутылка, затем - штоф, и т.д. Отсюда и мое название, но все-таки стоит более абстрактную арифметику предложить, и с акцентом не на переменную длину разряда, а на отсуствие первого члена ряда (в рюмочно-бутылочной системе он как раз есть).

В общем, по аналогии с арифметическими аксиомами Пеано для натуральных чисел, вот что для "денатурированных"

Вводим ряд из предыдущих, текущих и последующих "чисел" ("a, a, a"), соотношение между которыми задается "вычитанием" текущего из последующего, результатом которого является предыдущее (либо наоборот, "сложением" текущего с предыдущим, чтобы получить последующее).

"Числа" - в кавычках, т.к. они не похожи на числа натурального ряда (можно обозначать как ДЧ, "денатурированные" же, говорю). Однако есть и сходства: наподобие чисел Фибоначчи для обычного натурального ряда, но с той разницей, что нет первого члена. Поэтому свойства чисел Фибоначчи только частично отражают свойства этого ряда и операций с ним, т.к. в них есть начальные члены, а у ДЧ их нет. Так, операция "сложения" и "вычитания" в данной системе носит черты также деления чисел натурального ряда (получения дробных чисел), т.к. нацело можно сложить или вычесть только соседние ДЧ. Кроме того, в отличие от натуральных чисел, с ДЧ можно оперировать уверенно только в ближней окрестности произвольно взятого ДЧ "а", т.к. нет способов идентифицировать любое ДЧ относительно любого, только в своей окрестности. Но разрядная запись при этом возможна очень легко - надо обозначать следующее ДЧ как отдельный разряд в любую сторону от данного. Берем произвольное a, следующее в сторону увеличение запишем как ab, далее abc (которое a+ab), abcd (ab+abc) и т.п., а в другую сторону будем русским алфавитом пользоваться: ба (предыдущее), вба (а-ба), гвба (ба-вба) и т.п. Дробные значения (промежуточные между соседними ДЧ) будем записывать с дробью, которая заменяет разрядную запятую: abcd/а - это ДЧ abcd c прибавлением а в сторону abcde, а abcd\а - ДЧ abcd в вычитанием а в сторону abc. Аналогично и с а\гвба - для мнемоники это гвба с вычитанием в сторону дгвба (но можно записать это и как гвба\a, еще не решил :-))

Иллюстрация через числа Фибоначчи, если а - 89, то ab - 144, abc - 233, abcd - 377, ба - 55, вба - 34, гвба - 21. В отличие от чисел Фибоначчи в ДЧ есть уменьшение ниже 1 натурального ряда, как бы к его 0, с бесконечным приближением без возможности его достичь. Но соответствия полного нет, т.к. в ДЧ нет промежуточных целых чисел, в отличие от указанного примера с числами Фибоначчи: в указанном примере abcd/а в отличие от 466 - нецелое.

Сложность с еще одной аксиомой: надо ли вводить запрет вычитания числа из себя ? Судя по тому, как задан ряд, может и стоит (операций ДЧ с самим собой определением не предложено), но пока что для "богатства хозяйства" не будем. Т.е. при вычитании ДЧчисла а из самого себя, получаем 0, который не локален в ряду, т.к. получаем его при каждом вычитании любого ДЧ-числа из самого себя. Иным способом получить 0 вроде бы в такой системе нельзя, т.к. надо вычесть полную сумму всего ряда до данного числа а.

Вычитание бОльшего ДЧ из меньшего дает отрицательные числа. Но занятная особенность: без 0, т.к. каждое ДЧ лежит в бесконечном ряду, в одну сторону возрастающем, в другую - уменьшающем (как в Алисе в стране чудес у гриба отщипывать :-)). Также в этом случае у крупных чисел отрицательные ложаться дальше в отрицательной области, а у мелких - ближе. ("Крупные" и "мелкие" - это лежащие далеко относительно друг друга две разных области локальных ДЧ вокруг разных А). В указанном примере гвба-вба это как 21-34, а abc-abcd - как 233-377. Но и обычная для натуральных числе ситуация тоже в мире ДЧ есть: при вычитании из одного и того же ДЧ превосходящего его меньшего ДЧ результат ложится ближе в отрицательной области, чем при вычитании превосходящего его большего ДЧ (ну, большие-меньшие они относительно друг друга: гвба-вба как 21-34, гвба-abcd как 21-377). С этими отрицательными ДЧ пока не разобрался - возможно, они не похожи на отрицательные натуральные (т.е. не просто "с другим знаком", а ко всему прочему - особые дроби).

Вот пока не придумал, какие еще операции возможны, как образовать (и если невозможны - как установить ?). Также хорошо бы проверить аксиоматику на непротиворечивость, но это я не умеееею :-). (В принципе, есть учебник математической логики, но это нескоро - только открыл Алгебру Ван-дер-Вардена еще). Вот если такая система была разработана, было бы интересно ознакомиться, но без понятия даже, к какому разделу математики она может принадлежать. Универсальные алгебры ? - но они абстрактней... Хотя в данном случае операции занятные (сложение и вычитание в итоге с некоторыми свойствами деления). Спросить что ли на форуме mathhelp ? (но сразу в разделе Палата №6 придется :-))

Да, с развитым в Доборе и ранее взглядом не сочетается. Здесь пробовал другой заход: не элемент-операция как единый компонент и от него плясать, а без выделенного элемента или первоэлемента ("без единицы"). С сохранением величины или количества - иначе не получается вменяемо ничего рассмотреть (с детства людишки считать привычные...)
Tags: философское
Subscribe

  • Бремя собственности

    Собрание в ЖСК было таким продолжительным, что в налоговую не успел, и соответственно не имею новейших данных. Но скомбинировать за разные годы из…

  • Юбилей СНТ 60 лет

    в продолжение http://b-graf.livejournal.com/308737.html В общем, собрание прошло - всё на ура, все со всем согласны, кое-какие предложения прошли…

  • Чудеса демократии

    в отдельно взятом СНТ. В общем, предыдущее (в течение примерно 5 лет) правление починило ввод электричества и трансформатор, водонапорную башню и…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments