Category: философия

Category was added automatically. Read all entries about "философия".

юзерпик

Насчет третьей первоапрельской шутки

парой постов выше (про альтернативные числа и пр.).

Кажется, она относится не к философии математики, а к самой математике. Стал смотреть обзор в Blackwell companion to philosophy (к вопросу о пользе лишних книжек дома :-)), вроде такое именно философия математики и не рассматривает... (она тоже близко к собственно математике, но в вопросе о доказательности - про Гильберта, Гёделя и т.д.). Насчет математики не нашел тоже похожих рассмотрений, но тут в помощь только Википедия была, могло просто случайно не попасть...

В общем, она интересней, чем кажется, и "для сэбэ" уже заметил, что в моем гипотетическом примере свойства "трехпараметровой" математики-альтернативки в случае использования квазиэмпирических элементов (трех цветов) и использования трех абстракций могут быть разными: действий между цветами (аналогичных сложению и вычитанию) будет 6 (3 пары, нетранзитивные и с инволюцией: скажем, красный переходит в желтый и обратно, и преобразование синий-желтый-красный не считается одним преобразованием, два разных), а между абстрактными "брымзами" и "дурымзами" может быть и 3 (если без инволюций; что нетранзитивные - само собой, иначе бы 3 отдельных параметров не было бы). Но может быть, наоборот, и больше, т.к. число элементарных операций зависит от свойств лежащих в их основе "действий", ведь эти действия могут иметь сложную структуру; вот сколько дополнительных операций (аналогичных умножению, возведению в степень, дифференцированию и т.д.) - совсем непонятно, т.к. они будут зависеть от свойств получившихся объектов, альтернативных числам. Да и исчислимы ли они ? может, при разных стратегиях развития математики-альтернативки их будет разное число получаться ? (В случае "без инволюции" возможность разных стратегий развития системы операций очевидна: т.к. явно разная ситуация если "красный" переходит в "синий", а обратно нельзя, и если только "синий" в "красный" - и тоже без обратного действия).

В связи с этим занятна возможность (или невозможность) иного варианта и для "двухпараметровой" (или "двухдейственной") математики (существующей - вокруг величин, мощностей или чего там еще). В случае обычной математики сложение и вычитание можно рассматривать и как одно действие, инволюционное (т.е. преобразование, обратное самому себе), но, очевидно, что возможны и неинволюционные пары, с невозможностью обратных преобразований. Например, если положить в основу математики не сложение и вычитание, а, скажем, колку орехов (шимпанзе пытались, но не смогли, да - а мы-то умнее :-)) - как раз тот случай (склеивание не является обратным действием для раскалывания, т.к. итог не идентичен исходнику). Ну, и конечно, главный вопрос - можно ли в принципе таким способом строить математику - исходя из "действий" (базовых - не путать с операциями, которые развиваются уже из свойств получившихся элементов), а не из каких-то предметов (чисел, множеств, точек и т.д.). При таком изначально безэлементном подходе предполагается, что объекты-элементы возникнут из свойств наших действий, а не существуют сами по себе как что-то неопределяемое. Например, возможно, что единица как натуральное число со всеми свойствами (т.е. первая из аксиом Пеано) возникает из свойств "сложения-вычитания" как идеального инволюционного преобразования, которое можно рассматривать и как единое, и как различающееся (но вот как проверить этот тезис, какие могут быть доказательства ? а еще какие-то свойства задействованы в формировании натуральной единицы ?). Также вопрос: является ли "сложение-вычитание" единственно возможным идеально инволюционным действием или же возможны другие (тогда, может быть, открывается возможность для "альтернативной последовательности натурального ряда" - вот числа ли это будут или может быть что-то другое, с другими свойствами, тоже вопрос). Также: а абстрактный вариант какой, т.е. объединяющий разные свойства действий ? ("колку орехов", т.е. "разбивание-склеивание" - "врать надо научно" :-), - сложение-вычитание и еще черт знает что; кстати, это вроде все без добавления к ним параметра "транзитивность").

Хотя, вообще говоря, все это может быть ерундой, т.к. не очень понятно, как сочетается с уже разработанными областями, вроде теории множеств, групп, арностью какой-нибудь (не говоря о том, что обратность чисел в существующей математике определяется через умножение, а не через сложение). Да и само наличие привычных чисел при таких рассуждениях представляет сложность, т.к. их задействования надо избегать, чтобы не было тавтологии (но при этом приходится, т.к. иначе будет непонятно, слишком незнакомая область). Напрашивается даже "улучшение терминологии" (для устранения чисел из рассуждений): нетранзитивность заменить "разнокачественностью" (преобразование из желтого в красный, из синего в желтый - разнокачественные); почему так лучше: транзитивность определеяется относительно пар и троек элементов, т.е. счет там присутствует в самом определении... Эврика ! Есть шапочно знакомый доктор физмат наук, можно будет попробовать поприставать (главное, не забыть подробностей :-))